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RSA算法 发布于:

RSA加密算法是一种非对称加密算法。在公开密钥加密和电子商业中RSA被广泛使用。RSA是1977年由罗纳德·李维斯特(Ron Rivest)、阿迪·萨莫尔(Adi Shamir)和伦纳德·阿德曼(Leonard Adleman)一起提出的。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。

1973年,在英国政府通讯总部工作的数学家克利福德·柯克斯(Clifford Cocks)在一个内部文件中提出了一个相同的算法,但他的发现被列入机密,一直到1997年才被发表。

对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之,对一极大整数做因数分解愈困难,RSA算法愈可靠。假如有人找到一种快速因数分解的算法的话,那么用RSA加密的信息的可靠性就肯定会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA钥匙才可能被强力方式解破。世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。只要其钥匙的长度足够长,用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。

1983年麻省理工学院在美国为RSA算法申请了专利。这个专利2000年9月21日失效。由于该算法在申请专利前就已经被发表了,在世界上大多数其它地区这个专利权不被承认。

RSA公开密钥密码体制。所谓的公开密钥密码体制就是使用不同的加密密钥与解密密钥,是一种“由已知加密密钥推导出解密密钥在计算上是不可行的”密码体制。

在公开密钥密码体制中,加密密钥(即公开密钥)PK是公开信息,而解密密钥(即秘密密钥)SK是需要保密的。加密算法E和解密算法D也都是公开的。虽然解密密钥SK是由公开密钥PK决定的,由于无法计算出大数n的欧拉函数phi(N),所以不能根据PK计算出SK。

正是基于这种理论,1978年出现了著名的RSA算法,它通常是先生成一对RSA 密钥,其中之一是保密密钥,由用户保存;另一个为公开密钥,可对外公开,甚至可在网络服务器中注册。为提高保密强度,RSA密钥至少为500位长,一般推荐使用1024位。这就使加密的计算量很大。为减少计算量,在传送信息时,常采用传统加密方法与公开密钥加密方法相结合的方式,即信息采用改进的DES或IDEA密钥加密,然后使用RSA密钥加密对话密钥和信息摘要。对方收到信息后,用不同的密钥解密并可核对信息摘要。

RSA算法是第一个能同时用于加密和数字签名的算法,也易于理解和操作。RSA是被研究得最广泛的公钥算法,从提出到现今的三十多年里,经历了各种攻击的考验,逐渐为人们接受,截止2017年被普遍认为是最优秀的公钥方案之一。

SET(Secure Electronic Transaction)协议中要求CA采用2048bits长的密钥,其他实体使用1024比特的密钥。RSA密钥长度随着保密级别提高,增加很快。下表列出了对同一安全级别所对应的密钥长度。

保密级别

对称密钥长度(bit)

RSA密钥长度(bit)

ECC密钥长度(bit)

保密年限

80

80

1024

160

2010

112

112

2048

224

2030

128

128

3072

256

2040

192

192

7680

384

2080

256

256

15360

512

2120

这种算法1978年就出现了,它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。它易于理解和操作,也很流行。算法的名字以发明者的名字命名:Ron Rivest, Adi Shamir 和 Leonard Adleman。早在1973年,英国国家通信总局的数学家Clifford Cocks就发现了类似的算法。但是他的发现被列为绝密,直到1997年才公诸于世。

RSA算法是一种非对称密码算法,所谓非对称,就是指该算法需要一对密钥,使用其中一个加密,则需要用另一个才能解密。

RSA的安全性依赖于大数分解,但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明,因为没有证明破解RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法,那它肯定可以修改成为大数分解算法。 RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分解。不管怎样,分解n是最显然的攻击方法。人们已能分解多个十进制位的大素数。因此,模数n必须选大一些,因具体适用情况而定。

首先要使用概率算法来验证随机产生的大的整数是否是质数,这样的算法比较快而且可以消除掉大多数非质数。假如有一个数通过了这个测试的话,那么要使用一个精确的测试来保证它的确是一个质数。

除此之外这样找到的p和q还要满足一定的要求,首先它们不能太靠近,此外p-1或q-1的因子不能太小,否则的话N也可以被很快地分解。

此外寻找质数的算法不能给攻击者任何信息,这些质数是怎样找到的,尤其产生随机数的软件必须非常好。要求是随机和不可预测。这两个要求并不相同。一个随机过程可能可以产生一个不相关的数的系列,但假如有人能够预测出(或部分地预测出)这个系列的话,那么它就已经不可靠了。比如有一些非常好的随机数算法,但它们都已经被发表,因此它们不能被使用,因为假如一个攻击者可以猜出p和q一半的位的话,那么他们就已经可以轻而易举地推算出另一半。

此外密钥d必须足够大,1990年有人证明假如p大于q而小于2q(这是一个很经常的情况)而d < N^(1/4)/3,那么d是e/N的某一个渐进分数的分母(这个算法的原理是利用N=pq来逼近phi(N):=(p-1)(q-1),而算法要求d*e除以phi(N)的余数是1,所以de=k phi(N)+1,e/phi(N)=k/d +1/phi(N),这说明了e/phi(N)与k/d近似相等,从而可以通过e/N的渐进分数来寻找d(当然更多的,我们也可以更好地估计phi(N)来获得一个更好的估计,但对通常情况(e=65537),RSA算法仍然是安全的))。

最后,RSA的原理保证了d和e必须与(p-1)(q-1)的因子互素,因此d,e都不可能为2。

由于进行的都是大数计算,使得RSA最快的情况也比DES慢上好几倍,无论是软件还是硬件实现。速度一直是RSA的缺陷。一般来说只用于少量数据加密。RSA的速度是对应同样安全级别的对称密码算法的1/1000左右。

比起DES和其它对称算法来说,RSA要慢得多。实际上Bob一般使用一种对称算法来加密他的信息,然后用RSA来加密他的比较短的对称密码,然后将用RSA加密的对称密码和用对称算法加密的消息送给Alice。

这样一来对随机数的要求就更高了,尤其对产生对称密码的要求非常高,因为否则的话可以越过RSA来直接攻击对称密码。

和其它加密过程一样,对RSA来说分配公钥的过程是非常重要的。分配公钥的过程必须能够抵挡中间人攻击。假设Eve交给Bob一个公钥,并使Bob相信这是Alice的公钥,并且她可以截下Alice和Bob之间的信息传递,那么她可以将她自己的公钥传给Bob,Bob以为这是Alice的公钥。Eve可以将所有Bob传递给Alice的消息截下来,将这个消息用她自己的密钥解密,读这个消息,然后将这个消息再用Alice的公钥加密后传给Alice。理论上Alice和Bob都不会发现Eve在偷听他们的消息。今天人们一般用数字认证来防止这样的攻击。

1995年有人提出了一种非常意想不到的攻击方式:假如Eve对Alice的硬件有充分的了解,而且知道它对一些特定的消息加密时所需要的时间的话,那么她可以很快地推导出d。这种攻击方式之所以会成立,主要是因为在进行加密时所进行的模指数运算是一个位元一个位元进行的而位元为1所花的运算比位元为0的运算要多很多,因此若能得到多组讯息与其加密时间,就会有机会可以反推出私钥的内容。

原因生成的素数由于随机数是固定有限的集合产生的数量较少,可以用彩虹表攻击。

1,针对RSA最流行的攻击一般是基于大数因数分解。1999年,RSA-155 (512 bits)被成功分解,花了五个月时间(约8000 MIPS年)和224 CPU hours在一台有3.2G中央内存的Cray C916计算机上完成。

RSA-158表示如下:

2009年12月12日,编号为RSA-768(768 bits, 232 digits)数也被成功分解。这一事件威胁了现通行的1024-bit密钥的安全性,普遍认为用户应尽快升级到2048-bit或以上。

RSA-768表示如下:

2,秀尔算法

量子计算里的秀尔算法能使穷举的效率大大的提高。由于RSA算法是基于大数分解(无法抵抗穷举攻击),因此在未来量子计算能对RSA算法构成较大的威胁。一个拥有N量子比特的量子计算机,每次可进行2^N次运算,理论上讲,密钥为1024位长的RSA算法,用一台512量子比特位的量子计算机在1秒内即可破解。

公开密钥加密

量子计算机

秀尔算法


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