网站地图
1226.net
给你新词新语最详细的解释
克莱姆法则 发布于:

克莱姆法则,又译克拉默法则(Cramer's Rule)是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组,是瑞士数学家克莱姆(1704-1752)于1750年,在他的《线性代数分析导言》中发表的。其实莱布尼兹〔1693〕,以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则,但他们的记法不如克莱姆。

对于多于两个或三个方程的系统,克莱姆的规则在计算上非常低效;与具有多项式时间复杂度的消除方法相比,其渐近的复杂度为O(n·n!)。即使对于2×2系统,克拉默的规则在数值上也是不稳定的 。

克莱姆(Cramer,Gabriel,瑞士数学家 1704-1752)克莱姆1704年7月31日生于日内瓦,早年在日内瓦读书,1724 年起在日内瓦加尔文学院任教,1734年成为几何学教授,1750年任哲学教授。他自 1727年进行为期两年的旅行访学。在巴塞尔与约翰.伯努利、欧拉等人学习交流,结为挚友。后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数学名家,回国后在与他们的长期通信 中,加强了数学家之间的联系,为数学宝库也留下大量有价值的文献。他一生未婚,专心治学,平易近人且德高望重,先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。

主要著作是《代数曲线的分析引论》(1750),首先定义了正则、非正则、超越曲线和无理曲线等概念,第一次正式引入坐标系的纵轴(Y轴),然后讨论曲线变换,并依据曲线方程的阶数将曲线进行分类。为了确定经过5 个点的一般二次曲线的系数,应用了著名的“克莱姆法则”,即由线性方程组的系数确定方程组解的表达式。该法则于1729年由英国数学家马克劳林得到,1748年发表,但克莱姆的优越符号使之流传。

一般来说,用克莱姆法则求线性方程组的解时,计算量是比较大的。使用克莱姆法则求线性方程组的解的算

法时间复杂度依赖于矩阵行列式的算法复杂度O(f(n)),其复杂度为O(n·f(n)),一般没有计算价值,复杂度太高。. 对具体的数字线性方程组,当未知数较多时往往可用计算机来求解。用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法。

在引入克莱姆法则之前,先引入有关n元线性方程组和有关矩阵、行列式的概念。含有n个未知数的线性方程组称为n元线性方程组。

当其右端的常数项b1,b2,...,bn不全为零时,线性方程组⑴称为非齐次线性方程组。

当常数项全为零时,线性方程组⑵称为齐次线性方程组,即:

系数构成的行列式称为该方程组的系数行列式D,即

记法1:若线性方程组⑴的系数矩阵可逆(非奇异),即系数行列式 D≠0。有唯一解,其解为

记法2:若线性方程组⑴的系数矩阵可逆(非奇异),即系数行列式 D≠0,则线性方程组⑴有唯一解,其解为

其中Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。

记法1是将解写成矩阵(列向量)形式,而记法2是将解分别写成数字,本质相同。

充分性:设A可逆,那么显然

必要性:设

X0+Y0也是

n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地,方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵的行列式不为零,其矩阵可逆。

1. 克莱姆法则的重要理论价值:研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系;与其在计算方面的作用相比,克莱姆法则更具有重大的理论价值。

2.应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:

(1)当方程组的系数行列式不等于零时,则方程组有解,且具有唯一的解;

(2)如果方程组无解或者有两个不同的解,那么方程组的系数行列式必定等于零

(3)克莱姆法则不仅仅适用于实数域,它在任何域上面都可以成立。

3.克莱姆法则的局限性:

(1)当方程组的方程个数与未知数的个数不一致时,或者当方程组系数的行列式等于零时,克莱姆法则失

效。

(2)运算量较大,求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。

克莱姆法则在解决微分几何方面十分有用。

先考虑两条等式

找出一条等式适合

首先,我们要计算F、G、x和y的导数:

将dx和dy代入dF和dG,可得出:

因为u和v都没有关系,所以du和dv的系数都要等于0。所以等式中的系数可以被写成:

用克莱姆法则就可得到:

用两个雅可比矩阵来表示的方程:

用类似的方法就可以找到

当方程组没有解时,称为方程组不兼容或不一致,当存在多个解决方案时,称为不确定性。对于线性方程,不确定的系统将具有无穷多的解(如果它在无限域上),因为解可以用一个或多个可以取任意值的参数来表示。

克拉默规则适用于系数行列式非零的情况。在2×2的情况下,如果系数行列式为零,则如果分子决定因子为非零,则系统不兼容,如果分子决定因素为零,则系统不兼容。

对于3×3或更高的系统,当系数行列式等于零时,唯一可以说的是,如果任何分子决定因素是非零的,那么系统必须是不兼容的。然而,将所有决定因素置零都不意味着系统是不确定的。 3×3系统x + y + z = 1,x + y + z = 2,x + y + z = 3的一个简单的例子,其中所有决定因素消失(等于零)但系统仍然不兼容。


相关文章推荐:
线性代数 | 变量 | 方程 | 马克劳林 | 定理 | 克莱姆 | 正则 | 超越曲线 | 曲线方程 | 阶数 | 二次曲线 | 线性方程组 | 时间复杂度 | 线性方程组 | 非齐次线性方程组 | 系数矩阵 | 常数项 | 列向量 | 充要条件 | 行列式 | 实数域 | 未知数 | 个数 | 等式 | 等式 | 雅可比矩阵 |